维他奶温暖陪伴山区孩子健康成长

百度 到2035年，重要江河湖泊水功能区水质达标率提高到95%以上，重点河湖生态环境用水需求基本保障，河湖生态空间得到有效恢复，水生生物多样性进一步提高，河湖休养生息制度体系全面建立，河湖资源实现可持续利用。

Von Mangoldtova funkce je aritmetická funkce pojmenovaná po německém matematikovi Hansi von Mangoldtovi. Jedná se o vyznamnou funkci v teorii ?ísel, která není multiplikativní, ani aditivní.

Definice

Von Mangoldtova funkce je aritmetická funkce $\Lambda \colon \mathbb {N} \to \mathbb {R}$, definovaná p?edpisem

$\Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{pokud }}n=p^{k}{\text{ pro nějaké prvo?íslo }}p{\text{ a }}k\in \mathbb {N} ,\\0&{\text{v opa?ném p?ípadě}}.\end{cases}}$

Zde $\log$ ozna?uje p?irozeny logaritmus, tj. logaritmus o základu $e$.

Funkce $\Lambda (n)$ tedy nabyvá nenulovych hodnot právě na p?irozenych ?íslech, která jsou mocninami prvo?ísel. V těchto p?ípadech je hodnota rovna logaritmu p?íslu?ného prvo?ísla.

Prvních 10 hodnot funkce $\Lambda (n)$:

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$\Lambda (n)$	$0$	$\log 2$	$\log 3$	$\log 2$	$\log 5$	$0$	$\log 7$	$\log 2$	$\log 3$	$0$

Vlastnosti

Von Mangoldtova funkce není ani multiplikativní, ani aditivní.

Budi? p?íkladem ne-multiplikativnosti:

$\Lambda (4)=\log 2\neq (\log 2)^{2}=\Lambda (2)\cdot \Lambda (2).$

A p?íkladem ne-aditivnosti:

$\Lambda (6)=0\neq \log 2+\log 3=\Lambda (2)+\Lambda (3).$

Sou?et hodnot p?es dělitele:

Pro ka?dé p?irozené ?íslo $n\in \mathbb {N}$ platí následující rovnost:

$\sum _{d\mid n}\Lambda (d)=\log n.$

Tento vztah vyjad?uje, ?e sou?et hodnot Von Mangoldtovy funkce p?es v?echny dělitele ?ísla $n$ odpovídá p?irozenému logaritmu $n$.

Vyjád?ení pomocí M?biovy funkce:

Von Mangoldtova funkce $\Lambda$ má také vyjád?ení pomocí M?biovy funkce $\mu$, která je klí?ová v teorii aritmetickych funkcí:

$\Lambda (n)=-\sum _{d\mid n}\mu (d)\log d,$

kde $\mu$ ozna?uje M?biovu funkci. Tento vzorec je inverzí p?edchozí rovnosti pomocí M?biovy inverzní formule.

Související ?lánky

• M?biovy funkce
• Prvo?íselná funkce